第一不完全性定理证明标号分类 拆解汉译知识背景——哥德尔原著英译拆解汉译之一

第一不完全性定理证明标号分类 拆解汉译 知识背景——哥德尔原著英译拆解汉译之一

哥德尔原著中的第一不完全性定理证明的全过程,已经艰难地旅行了一趟。不是浮光掠影,却依然处在似懂非懂之中。沉思,常自叹功力甚浅,未能力透纸背,了悟哥德尔符号玄机也。

刚刚学到两个对待知识态度的英文单词。一个是know-it-all,中文翻译为无所不知,另一个是learn-it-all,中文翻译为无所不学。我们这个社会好像有不少know-it-all即无所不知的人和团体,所有人,所有团体都得听它的,因为它无所不知。好在还有一个正好与这个无所不知对应的无所不学,它恰恰是无所不知的反面。我们总有学不完的知识,我们应该用一种谦恭包容的态度对待人类的知识,用虔诚的学习态度来对待这人世间的一切存在。

一个智慧的存在,谦恭的学习态度应该为第一要义。你准备去学习某种东西,除非不可抗拒的因素在给你困扰,不然,浅度漂学解惑不了,就不可不懂装懂,自以为无所不知。倒应该是提升强度,如同旅行中的普通游升华为深度游那样。在粗读哥德尔原著一轮之际,好像来了点这样的感觉,感觉非增加点深度游览,才有可能窥见哥德尔文字之奥妙,或者练出点功力,能够察知哥德尔符号之瑕疵。

于是,那计算机指令中经常用到的循环迭代,就起了一点启示作用。也许,这循环迭代产生的熟,继而生发出的灵性,能够映衬出孔老夫子的那句千古名言:温故而知新的。

由此,哥德尔原著英译本的迭代阅读就这样开始了,因为有第一轮的打底,可以先对哥德尔第一不完全性定理的证明流程,做一个概要性的描述了。

好几本哥德尔参考读物,都是从哥德尔定理的大背景角度来概括哥德尔证明的。我的第一着眼点没有大背景,仅在哥德尔原著本身。先对哥德尔证明第一不完全性定理给出的16个标号,给出分类的描述。然后看有不有可能,捣鼓出哥德尔证明的一个路线个分类

哥德尔证明第一不完全性定理中的16个标号,再加上标号(6)之下的(6.1),标号(8)之下的(8.1),总共18个标号。按其符号性质分类,大致可以分为以下几类:

x可证定义,类似于哥德尔文本中提及的概念,也就是哥德尔46个定义中的定义44

这个定义标号为(5),意在说明一个在ω一致条件下,证明序列是什么样的客体对象。

y是x证明序列的定义,同样类似于哥德尔文本中提及的概念,也就是哥德尔46个定义中的定义45

以上哥德尔给出的这18个标号,我按性质给予了分类。但在原文中,则是按标号顺序列出的。为了对哥德尔的思路有更好的了解,以下给出哥德尔原著2000年英译本的汉译。分类之后做拆解汉译,这拆解汉译所翻译的内容,仅汉译出其中的标号部分和标号部分的联结语,包括英译者的评注。汉译中的英译者评注为英译本中原已附带的,汉译评注则是我另外给出的。

以上标号分类,来自哥德尔原著英译本中部分译文,我在这里将英译本再做一次中文转译。黑体字是从英文转为汉语的哥德尔原著,其中使用方括号的文字为英译者评注,非黑体字的汉译评注,则略略解读与联结这些原著英译文字。

我们现在将构造一个系统PM的不可判定命题,那就是,它是如下给出的一个定理

,对于该定理A而言,既不是A可证,也不是¬A可证。我们将把仅带有一个自由变元,该自由变元的类型为自然数的PM公式,称作类符号(class-sign)。我们将假定这些类符号可用某种方式按顺序编排,我们将把第n个顺序编排的类符号,称作Rn。请注意,概念“类符号”和序关系R都在系统PM内可定义。设α为任意类符号,我们用

表示用n代入α中自由变元而形成的公式。再假定,三元关系x=y(z)也在PM中是可定义的。现在,我们就定义一个自然数的类K如下:

R(n);n为好,我暂按原本不变。标号(1)之后的标号(2),则是数页之后出现的原始递归定义。这个原始递归函数的定义,是在哥德尔构造了一个不同于PM的系统P后给出的。所以,我们从标号(1)出发,进入到标号(2)的时候,所面对的形式系统就不是PM而是P了。有意思的是,这个标号(2)的定义,虽然位于构造了不同于PM的系统P之后,却是哥德尔跳出P之后而定义的。哥德尔似乎特别地指出了这一点,他是跳出P之外做的一个短暂的旅行,而且,这个原始递归概念几乎和P没有任何关系。我们来看哥德尔的标号(2)

此刻,我将跳出P之外做一个短暂的旅行,以形成一个和P几乎没有任何关联的观察结果。首先给出的是以下定义:我们说一个数论公式

被定义,那是根据数论公式(x1,x2,…,xn-1)和μ(x1,x2,…,xn+1)而递归定义的,如果对于所有的x1,x2,…,xn,k,以下等式成立:

汉译评注:哥德尔给递归所做的这个定义客体,现在称为原始递归函数。由这个原始递归函数,又引申出一些相关于原始递归函数的定理。因而接之立刻就列出了,具有原始递归性质的45个定义。在定义45之后,再列出一个不是原始递归性质的定义46。跳过非原始递归函数的第46个定义,这一次穿越原著文本好几个页码,哥德尔定理证明中的第3个标号登场了,紧接着,第4个标号也登场了。这两个标号,就是著名的可表达性定理V,而这个登场亮相完毕之后,我们又从P之外回到了p之中。需要注意的是,这个可表达性定理V的排序,是哥德尔定义原始递归函数概念之后系列定理的排序。它给出了哥德尔另一类定理序列,在原始递归函数定义之后,先有原始递归函数的四个定理。依据这些定理,我们就有随后出现的46个定义。在46个定义之后,再出现展示递归关系和可证性观念之间对应的对应定理V。

每一个原始递归关系在系统P内可定义这个事实(也就是按照其内容来解释P),将用以下定理来表达。

都存在一个关系符号r(带有自由变元u1,…,un,)使得对于每一个n元组符号(x1,…xn),有以下公式成立:

汉译评注:有了以上4个标号之后,哥德尔命题VI(6)的证明正式上了轨道,从标号(5)到标号(16)一气呵成,完成了第一不完全性定理的全部证明流程,也就是完成了哥德尔原著的目标。为了实现这个目标,哥德尔还需要一个观念,这就是他为系统P新增的一个一致性观念,数论中的一致性。我们的拆解汉译,也就从哥德尔界定的一致性开始。这里也有一个关注点,哥德尔的定理序列,到标号(4)为止,已经编排了5个定理。哥德尔第一不完全性定理,原著文本最为出彩的定理,就是他编排的定理VI(6)。

现在,我们来到那个详述本文目标的地方了。设k是任意公式类。我们用Conseq(q)表示含有所有k的公式,所有k的公理,并且在直接后承关系下封闭的最小公式集合。k被称为ω一致,如果没有类符号α使得

其中,v是类符号α的自由变元【英译者评注:换句线;一致性的反证将会是一个带有一个自由变元的公式α,这个公式α,我们可以对所有n,导出一个

来。我们也可以用这个公式α,但我们同样也可以,并非对于所有的n,导出一个α(n),这是一个矛盾。】当然,每一个ω一致性系统也是一致的。然而反过来并不成立,如同后面将会证明的那样。【英译者评注:我们称一个系统是一致的,如果没有公式α使得α和¬α都可证。这样一个公式是一致性的反例,但这样一个公式一般而言不是ω一致的反例。换句话说,ω一致比一致性强,前者蕴涵着后者,但反过来却不是。】

对于每一个ω一致性的原始递归类公式k,都存在一个原始递归类符号r,使得无论是对于所有的v,r,即

,还是对于并非所有的v,r,即not(forall(v,r)),它们都不属于Conseq(k)。(其中,v是r的自由变元)。【英译者评注:因为定理中的前提是ω一致性,它强于一致性,所以该定理若与其假定前提仅仅是一致性的同样定理相比较,就具有更少的普遍性】

因为,(依据标号(6)和(5)),proofFormulak(x,y)是原始递归的;(再依据定义17和31),

同样原始递归的,所以Q(x,y)也是原始递归的。而依据定理V,我们因此而有关系符号q(带有自由变元17和19)使得以下公式成立:

(p是带有自由变元19的类符号【英译者评注:它直观上意味着19(19),也就是

(r是一个带有自由变元17的原始递归类符号【英译者评注:它直观上意味着17,也就是,也就是

并不证明p(p),这里的p(p)意味着是不可证的】)由此,以下公式也成立:

(因为(14)),【英译者评注:这个递归的forall(17,r)可以解释为它对p(p)没有证明,换句线,r)陈述了:陈述自身不可证的命题p(p)是不可证的】。如果我们现在在标号(9)与(10)中对y代入p,再使用标号(13)和(14),那就可以得到:

汉译评注:由以上18个标号的公式序列,导出以下两个结论。一个结论是否定的可证,另一个结论是否定的不可证。也就是说,我们既不能证明公式forall(17,r)可证,也不能证明公式forall(17,r)不可证。这恰恰就是一个公式在某个形式系统中不可判定的状态,也就是定理VI陈述中所表明的:对于每一个一致性的原始递归类公式k,都存在一个原始递归类符号r,使得无论是对于所有的v,r,即forall(v,r),还是对于并非所有的v,r,即not(forall(v,r)),它们都不属于Conseq(k)。(其中,v是r的自由变元)。

也不是k可证,正如以上证明过的,forall(17,r)不是k可证,那就是说,依据标号(6.1),以下公式成立:

哥德尔原著英译本的拆解汉译,先译到这里。从这个简洁的证明流程中可以看到,哥德尔第一不完全性定理的证明,涉及到颇多不同的数学与逻辑观念。对这些观念予以梳理概括,逐渐去靠近解读哥德尔的思路,看来是一条有可能通达的途经。

暂列以上10项,仅这些内容就够折腾人的了。经历这个实在的世界几十年,我们所面对的有形的物质的世界,好像已经给人多多审视疲劳的感觉,你好像无力参与,似乎任何一点涉猎的兴趣,都因为人世间的险恶而被阻断。唯有符号的缥缈的世界,却依旧在展现它的魅力。无论是自然语言的符号还是人工语言的符号,无论是这些符号外显的意蕴,或者潜藏的意蕴,都在诱惑人的精魂和智慧去着力参与。即使常常遇到困惑和阻隔,你在犹豫徘徊之后,不经意间又走进的,还是这些符号的世界。

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